在欧氏平面上排布n个点,这n个点两两之间距离的最小值和最大值的比值有无最大值?

我的回答

我来做个搜索党,首先这个问题可以重新陈述为:

欧几里得平面上有 $n$ (其中 $n \geq 2$ )个点,它们两两之间的距离均不小于 $1$ ,用 $D(n)$ 表示这个点集的最小直径,求解 $D(n)$ 。

显而易见的结论:

\[D(2) = 1\] \[D(3) = 1\]

1951年Paul Bateman和Paul Erdös在Geometrical extrema suggested by a lemma of Besicovitc中证明了:

\[D(4) = \sqrt{2} \approx 1.414\] \[D(5) = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1.618\] \[D(6) = 2\sin(\frac{2\pi}{5}) = \sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}} \approx 1.902\] \[D(7) = 2\]

并且他估计(未证明) $D(n)$ 的阶是:

\[\sqrt[4]{\frac{12}{\pi^2}} \cdot \sqrt{n}\]

1999年Andras Bezdek和Ferenc在Minimal diameter of certain sets in the plane中证明了:

\[D(8) = \frac{1}{2\sin(\pi/14)} \approx 2.247\]

2010年Charles Audet, Xavier Fournier, Pierre Hansen, 和Frédéric Messine在A note on diameters of point sets中做了一些研究,给出了很多 $D(n)$ 的上界,但是找出并证明最优解的,依然止步于 $D(8)$ 。

顺便附一些资料:

Minimizing the Ratio of Maximum to Minimum Distance